RELACIONES TEMA #3

RELACIONES

INTRODUCCION
En matemática como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relacione entre dos objetos en geometría se trata de  relaciones  congruencia, y de s semejanza.
Por esto es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos.
Una manera de lograr esto es mediante una regla, formula o propiedad.
Así por ejemplo: consideremos el conjunto A de las materias que puede pasar un estudiante en un semestre y el conjunto B formado por los créditos  e las materias sin laboratorio.

NOTA:
R: se utiliza para simbolizar unma relación.
XRy: se utiliza para expresar que x relaciona con y o x esta relaionado con y .
XRy: x no esta relacionado con y.

RELACIONES DEFINIDAS EN CONJUNTOS

Sea Runa relación de a en b si A y b son iguales se dice que R es una realacion de A en A.

DOMINIO DE R

El dominio de r se escribe D(R) es el conjunto de los elementos en A están rerlacionados en algún elemento de B, en otras palabras el dominio es el conjuntode las primeras componentes de los pares ordenados que que pertenece a la relación, es decir:

I(R) =  

IMAGEN DE R

En imagen de R (condominio, recorrido, rango) se escribe I(R) es el conjunto de los elemento de B que son los segundos elementos de los pares ordenados que pertenece a la relación, es decir:

I(R)

RELACION INVERSA

La relación inversa reciproca de la relación R de A e B es la relación R^-1 de B en A que se define de la siguiente forma:

R^-1= 

(Y,X) R^-1↔(X,Y) ∈R

COMPOSICION DE RELACIONES

Sea R la relación A en B y S una relación B y C

R⊂AxB

S⊂BxC

A partir de esta relación se puede definir una relación A en C lla nada composición de  R y S mediante la siguiente definición:

SoR= {(X,Z)/}

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES:

RELACIONES REFLEXIVAS:  una relación r en un conjuno A se denomina reflexiva y cada elemento de X del conjunto A esta relacionado consigo mismo  es decir:


RELACIONES SIMETRICAS: una relación R en un conjunto A es simetri si cualquiera que sea el par ordenado (x,y) ambien pertenece la relación.
xRy → yRx
COMPOSICION DE RELACIONES
Sea R una relación de A en B y S una relación de B en C
A partir de esta relación se puede definir una relación de A en c llamada composición de R y S mediante la siguiente definición:
SoR =


RELACIONES TRANSITIVAS

Sea R una relación definida en un conjunto A es transitiva si cualquiera que sean los pares ordenados (X,Y) y (X,Z) que pertenecen a la relaion entonces el par ordenado (X,Z) también pertenece a la relación es decir:
R es transitiva  ↔ x  y  z
xRy ʌ y Rz → xRz

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una relación binaria definida en un conjunto A es equivalencia si es reflexiva simétrica y transitiva:
Ejemplo: Determinar si R es de equivalencia
A=
R=
REFLEXIVA

X=1: 1 R1
X=2: 2R2
X=3: 3R3
X=4: 4R4

SIMETRICA

xRy → yRx
X=2:   1R1  1R1          (1,1)
Y=2:
X=2:   1R21R2            (1,2)
Y=2:
X=2:   2R12R1             (2,1)
Y=2:
X=2:   2R22R2              (2,2)
Y=2:
X=2:   3R33R3             (3,3)
Y=2:
X=2:   4R44R4              (4,4)
Y=2:

TRANSITIVA

xRy ʌ yRz →xRz
(1,1) (1,2):   1R1 ʌ 1R2 →1R2
(2,1) (1,2):   2R1 ʌ 1R2 → 2R2
(3,3) (3 ,3):   3R3 ʌ  3R3  → 3R3
(4,4) (4,4) :   4R4 ʌ  4R4 → 4R4