CONJUNTOS TEMA #1

CONJUNTOS

DEFINICION: En el lenguaje corriente empleado el vocablo conjunto para referirnos a una colectividad de objetos que se consideran agrupado formando un todo por      ejemplo:  conjunto alumno de clases, conjunto de letra del abecedario, conjunto de escritores nacionales etc.
De esta notación de pluralidad contrapuesta ala singularidad ha surgido el concepto matemático de conjuntos por ejemplo: recién mencionado basta por ahora para tener una idea de dicho concepto. Lo esencial de dicha situación es la presencia de elemento o miembro del conjunto los mismos se le denota usualmente con las letras minúsculas del abecedario y los conjuntos se les denota común mentes con las letras mayúsculas del abecedario .
Otros símbolos que usaremos frecuentes son :
“”para expresar  “tal que”
“”para expresar que un elemento pertenece a un conjunto
“” para expresar menor que
“” para expresar mayor que
Para simbolizar que  “x”pertenece a “A”
Podemos escribirlo de la siguiente manera       XA
NOTACION DE CONJUNTOS:
A = { 1,2,3}
1 A=V
4⋲ A = F
{1,2} ⋲ A = F
{1} ⋲ A  = F

CONJUNTO INVERSO DE LOS NUMEROS

El conjunto universo presenta caracteriza la colección de todos los valores numéricos matemáticos que podemos observar en los cálculos que realizamos  en la vida cotidiana los cuales se descomponen en el siguente subconjuntos.
Naturales  N = { 1,2,3,4,……∞}
Enteros Z = {…..-3,-2,-1,0,1,2,3,……}
Racionales Q = {5/2,1/4,2,0.25,0.33333}
Irracionales   = {,e , ,
Reales R = { V Q V Z }
Imaginarios II = { i = , , }
Complejos  = {R V II}

DIAGRAMA DE VENN DEL CONJUNTO DE NUMERO

R

        Q                                        II

                  Z

                      N

Clasificacion de conjuntos :

Se clasifican por comprensión y extensión
Conjunto dado por extensión :
Esta clasificado por extensión si y solo si se nombran todos los elementos que los constituyen
Ejemplo :
A = { a, e, o}
B = {1,2,3,5,7,}

Conjunto dado por comprensión :

Se dice que un conjunto esta clasificado  por comprensión si y solo si seda la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto .
Ejemplo :

A = { X A    X Es vocal fuerte }

B = B    X 10 ^ X Es numero primo }

Ejemplo 1 :

A= { XN    X 5

Solucion :
A = { 1,2,3,4}

Ejemplo 2 :                                                                9

B = { x z      9                                              -9 0
Solución :                                                                  (x-3) ( x+3)
B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,}

Sean los por extensión expresar por comprensión
A = {2,4,6,8,10
Solución :

A ={X N   X 10 ^ X es numero par }

CONJUNTOS ESPECIALES

Llamaremos conjuntos especiales aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos , entre ellos tenemos conjunto unitario, conjunto vacio , conjunto universal.
Conjunto unitario :
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento .
Ejemplo :

A = {X R      + 1 = 0

Solución                                               = 0
A = {                                                       
                                                                X = 0
 Conjunto vacio :
Es aque conjunto que carece del elemento y se nota por  {  } o
Ejemplo :

A= { X R    + 1 = 0

Solución:
A= {    }

conjunto universal :

el conjunto llamado universo o referencial es un conjunto de cuyos elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos se le denota por la letra U
Ejemplo :     SEA :  U {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,}

Hallar     A = {X U     X -3

    Solución :
        A = {-5.-4}

Hallar       B ={ XU    -4 }

  Solución:
            B= { -5,-4,-3,3}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Se sabe que el símbolo pertenece ” se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto , asi mismo se puede relacionar dos conjunto definido en un mismo universo mediante la siguiente propiedades :
Inclusión de conjuntos :
sea dos conjuntos de A y B incluido en B que a es un conjunto de B si todos los elementos del conjunto A pertenece al conjunto B se le denota por AcB Se le que A es incluido en B
En simbolos :
A c B ↔  : X ∈ A → X ∈ B
     
                                                    
                                                  

Igualdad de conjuntos ;   “ A = B “
Se dice que A ^ B son iguales si y solo si A esta incluido en B y B esta incluido en A es decir que ambos conjuntos tienen los mismos elementos se le denota por A= B
En simbolos :
                                       A = B↔ A c B^ B c A

Conjuntos de partes :
Dado un conjunto A se entiende por conjunto de partes de A al conjunto formado por todo los subconjuntos de A y se denota por P(A)
Simbolos :

                                   = {X     X c A}

                                 X ↔ X c A
Ejemplo :
Hallar :                             {a,b,c}
= { { } {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c}
 es la formula para calcula el numero de elementos donde n es el numero de elementos de A




OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS :

La combinación de dos o mas conjuntos mediantes reglas bien definidas son operaciones que se realizan entre los mismos conjuntos cuales  a partir de ellos se pueden generar nuevos subconjuntos estas operaciones son , unión y intercepción , complementación , diferencia simetrica y combinaciones de las mismas partes .
Unión de conjuntos :
Sea dos conjuntos A y B se llama unión de A ^ B al conjunto formado por los elementos de A o de B se denota por AUB

En simbología :

                           AUB= {X    XA  o X∈B
                           X∈ (AUB)↔X∈A o X∈B

INTERCEPCION DE CONJUNTOS :

Dado los conjuntos AyB de intercepción de los conjuntos A Y b es el conjunto formado por todos los elementos que son comunes en los dos conjuntos , es decir que pertenece al conjunto A y también pertenece al conjunto B
Se denota por AB
Simbolos :

AB = {X   X∈A  ^ X}

A A ↔X∈A ^ X∈B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto definido en un universo U el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenece al conjunto A
Se denota por

DIFERENCIA DE CONJUNTO

Sea Ay B dos conjuntos la diferencia de A-B es el conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto A y no pertenece al conjunto B , se denota A-B


DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTO

Sea dos conjuntos A y B definido en un universo U la diferencia simetrica entre estos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenece al conjunto A  o al conjunto B, pero no a ambos conjuntos, se denota por AB

NOTA: Al igual que matemática en el tema de conjunto se necesita expresar o representar un conjunto en una expresión simplificada  para lo  cual aplicamos reglas y leyes de conjuntos adecuadamente para cada ejercicio dado, debemos escribir la ley del conjunto o leyes de conjuntos que se utiliza para simplificar en cada paso


CARDINALIDAD DE CONJUNTOS :
Sea A un conjunto definido en U se llama cardinalidad de conjuntos al numero de elemnto que posee el numero A y se denota